【地科小擂台】衛星有多高？

林彥興

題目
住在新加坡的小王，發現在清晨或傍晚時，常可以看到一顆人造衛星從正西方往正東方飛去。而且長年觀察下來他發現，最晚只能在晚上九點看到這顆衛星。晚上九點到凌晨三點這段時間，無論如何都看不到。
請問，這顆衛星的軌道高度有多高呢？

提示：你可以先假設太陽位於天球赤道上。

解答
上禮拜的小擂台，我們挑戰大家從一段小王對衛星出現時間的觀察，推測出衛星運行的軌道高度。回答這個問題的關鍵，就是要了解：
衛星什麼時候看得到？

決定衛星能否被看到的原因有兩個：
一、衛星必須被陽光照射到，不然衛星發出的光線非常微弱，一般來說難以被肉眼發現。因此運行在地影中的衛星是看不見的。
二、衛星必須在地平線以上。
此外，新加坡的緯度非常接近赤道，在新加坡看到東西向飛行的衛星，代表這顆衛星運行在赤道上空，軌道傾角為 0 度。

有了這三個條件，就可以輕易的畫圖切分出軌道的哪些部分是 21:00 ~ 03:00 的人可以看見的。仔細觀察就會發現，如果軌道高度足夠低，我們就可以讓衛星一從地平線升起，就進入到地影中。此時，衛星的軌道、地影的邊緣與地平線三者交於一點。於是我們就可以利用簡單的三角函數計算出衛星軌道的高度，大概在五百公里左右～

原題目中，我們刻意強調了可以假設太陽位於天球赤道上。因此赤道面上的地影是長方型。
但實際上，一年四季不同時後，太陽在的赤緯當然也會有所不同。此時，如果我們一樣畫赤道面上的剖面圖，就會發現地影是橢圓形的，且橢圓的短軸等於地球直徑，長軸的長度則可以藉由三角函數算出。
如此一來，有了橢圓方程式，一樣可以用高中數學算出軌道的高度。不過略為繁瑣，就不詳細去算了，有興趣的話歡迎自己挑戰看看喔～