【地科小擂台】DART 成效幾何？

林彥興

出題篇

DART 系列第三篇！[1] [2]
前兩天，我們用了長長的篇幅，介紹 DART 在以秒速六公里撞擊小行星迪莫佛斯後，不僅噴出了大量的小行星碎片，也成功改變了它的軌道週期。那現在問題來了：
1. 已知迪莫佛斯的軌道週期在撞擊後縮短了 32 分鐘，請問 DART 的撞擊讓迪莫佛斯的軌道速度降低了多少？
2. 迪莫佛斯的動量變化，與 DART 撞擊時帶有的動量相比，是比較大還是比較小？
3. 在最理想的情況下，以秒速六公里撞擊的 DART，可以讓迪莫佛斯的軌道速度改變多少呢？
4. 噴出的碎片多寡，對軌道變化的幅度有什麼影響？

一些你可能需要的資訊
。迪莫佛斯初始軌道週期：11 小時 55 分鐘
。迪迪莫斯質量：5.27e11 公斤
。迪莫佛斯質量：5e9 公斤
。DART 質量：600 公斤
。DART 撞擊速度：6 km/s
。難度：大概是高中物理

Credit: NASA/Johns Hopkins APL

解答篇

面對任何物理問題，首要之務是釐清

參數定義

。迪莫佛斯初始軌道週期（$T_0$）：$11$ 小時 $55$ 分鐘
。迪莫佛斯被撞擊後的軌道週期（$T_1$）：$11$ 小時 $23$ 分鐘
。撞擊前半長軸（$a_0$）
。撞擊後半長軸（$a_1$）
。迪迪莫斯質量（$M_1$）：$5.27\times 10^{11}$ 公斤
。迪莫佛斯質量（$M_2$）：$5\times10^9$ 公斤
。DART 質量（$m_D$）：$600$ 公斤
。DART 撞擊速度（$v_D$）：$6000$ 公尺/秒
。噴出的碎片質量（$m_e$）
。噴出的碎片速度（$v_e$）

接著為了簡化問題，我們認定 $M_1\gg M_2$，並假設迪莫佛斯是以圓形軌道繞行迪迪莫斯。DART 的撞擊平行軌道切線方向，且迪莫佛斯沒有自轉。
有了這些，就可以開始回答問題啦！

軌道速度的改變

由克卜勒第三運動定律，我們知道天體軌道週期的改變，與其軌道半長軸相關： $$ \frac{a^3}{T^2} = \frac{GM_1}{4\pi^2} $$ 且軌道速度是： $$ v = \sqrt{GM_1\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)} $$ 由此我們得到兩條方程式： $$ \frac{a_0^3}{T_0^2} = \frac{a_1^3}{T_1^2} = \frac{GM_1}{4\pi^2} $$ $$ \Delta v = v(a_0) - v(a_1) = \sqrt{GM\left(\frac{2}{a_0}-\frac{1}{a_0}\right)} -\sqrt{GM\left(\frac{2}{a_0}-\frac{1}{a_1}\right)} $$ 因此，只要把第一式的數字代入第二式，就可以計算出 $$ \Delta v \sim 2.7\times 10^{-3}~{\rm m~s^{-1}} $$

動量變化

我們可以很簡單的計算出，迪莫佛斯的動量變化是： $$ \Delta p_{2} = M_2 \Delta v \sim 1.35\times 10^{7} ~{\rm kg~m~ s^{-1}} $$ 而 DART 原本帶有的動量是： $$ p_D = m_Dv_D \sim 3.6 \times 10^{6} ~{\rm kg~m~ s^{-1}} $$ 你會發現，迪莫佛斯的動量變化量，居然比 DART 原本帶的動量更多。這怎麼可能呢？
答案很簡單：因為在撞擊中被拋出的碎片一樣是帶有動量的。

註：嚴格來說，這個結論的前提是我們精準知道迪莫佛斯的質量。但實際上在撞擊之前迪迪莫斯和迪莫佛斯的質量都是高度不確定的。此處為方便展示物理而刻意忽略了這個問題。

最大效果

想要最大化撞擊對迪莫佛斯造成的動量改變，就要在給定一定動能的情況下，最大化碎片的動量。什麼時候碎片的動量會最大呢？答案是所有碎片都正好往 $x$ 方向前進的情況。
Before:

After:

在這個情況下，撞擊前後系統的動量是： $$ m_Dv_D = M_2\Delta v - m_ev_e $$ 總能量是： $$ E_k = \frac{1}{2}m_Dv_D^2 = \frac{1}{2}M_2\Delta v^2+\frac{1}{2}m_ev_e^2 $$ 因此，將兩式結合，我們可以得到（Note: $p = \sqrt{2mE_k}$） $$ M_2\Delta v = m_Dv_D + \sqrt{m_e(m_Dv_D^2 - M_2 \Delta v^2)} $$ 移項平方後可得： $$ (M_2\Delta v - m_Dv_D)^2 = m_e(m_Dv_D^2 - M_2 \Delta v^2) $$ $$ M_2^2 \textcolor{blue}{\Delta v^2} + m_D^2v_D^2 - 2 M_2 \textcolor{blue}{\Delta v} m_D v_D = m_e m_D v_D^2 - m_e M_2 \textcolor{blue}{\Delta v^2} $$ 於是我們發現，上式可以被看成是 $\Delta v$ 的一元二次方程式。
因此經過整理並代入公式解之後得到： $$ \Delta v = \frac{2 M_2 m_D v_D \pm \sqrt{\left(2 M_2 m_D v_D\right)^2-4\left(M_2 \textcolor{red}{m_e}+M_2^2\right)\left(m_D^2 v_D^2-\textcolor{red}{m_e} m_D v_D^2\right)}}{2\left(M_2 \textcolor{red}{m_e}+M_2^2\right)} $$ 其中 $M_2, m_D, v_D$ 都是已知，唯一不知道的只有 $m_e$。因此我們可以借助電腦把它畫出來：

圖中，藍線就是 $\Delta v$ 和 $m_e$ 的關係。橘色水平線標註著我們從軌道週期的變化計算出的 $\Delta v$，而淺灰色的鉛直線是 DART 的質量（$m_D$）。可以看到，根據 $m_e$ 的數值不同，$\Delta v$ 的數值可以差到千倍之多。
需要注意的是，由於我們在列出動量守恆的方程式時，其實就已經偷偷假設了噴出的碎片質量遠小於迪莫佛斯的質量，所以圖片越右邊的計算結果越是不可信。因此我們在圖中特別標出了 0.01 倍迪莫佛斯質量的位置以供參考。

我們會發現，$m_e$ 越大，迪莫佛斯能獲得的動量就越多。為甚麼呢？
我們可以把動量和動能的關係寫下來： $$ \frac{p^2}{2m} = E_k $$ 可以看出在固定動能（由 DART 提供，$m_Dv_D^2/2$）的情況下，噴出的碎片質量越大，其動量就越高。

結語

綜合以上所有訊息，我們發現噴出的碎片質量，對於動能撞擊的效果有非常大的影響。而撞擊中會拋射出多少碎片，又跟撞擊的速度、角度、小行星的結構等因素有關。很可惜的，上述三者，尤其是小行星的內部組成，都有很大的不確定性。 而在真實世界中，噴出的碎片不會都朝同一個方向飛出去，而是會像下圖一樣朝各個方向散開。再加上能量耗散、小行星自轉等等其他複雜因素影響，預測撞擊效果的難度可見一斑。

Credits: ASI/NASA/APL

所以，即使是最「簡單」的動能撞擊，到底撞了之後會對小行星的軌道產生多少偏差，仍有相當大的不確定性。正因如此，才需要 DART 這樣的任務去實地驗證並分析這個方法的效果，才能在未來真的需要偏轉小行星的軌道以拯救地球時，制定出成熟可靠的計畫。

延伸閱讀

Statler, T. S., “After DART: Using the first full-scale test of a kinetic impactor to inform a future planetary defense mission”, arXiv e-prints, 2022.
這份論文有提供三維版本的推導。