【地科小擂台】DART 成效幾何？

林彥興

出題篇

DART 系列第三篇！[1] [2]
前兩天，我們用了長長的篇幅，介紹 DART 在以秒速六公里撞擊小行星迪莫佛斯後，不僅噴出了大量的小行星碎片，也成功改變了它的軌道週期。那現在問題來了：
1. 已知迪莫佛斯的軌道週期在撞擊後縮短了 32 分鐘，請問 DART 的撞擊讓迪莫佛斯的軌道速度降低了多少？
2. 迪莫佛斯的動量變化，與 DART 撞擊時帶有的動量相比，是比較大還是比較小？
3. 在最理想的情況下，以秒速六公里撞擊的 DART，可以讓迪莫佛斯的軌道速度改變多少呢？
4. 噴出的碎片多寡，對軌道變化的幅度有什麼影響？

一些你可能需要的資訊
。迪莫佛斯初始軌道週期：11 小時 55 分鐘
。迪迪莫斯質量：5.27e11 公斤
。迪莫佛斯質量：5e9 公斤
。DART 質量：600 公斤
。DART 撞擊速度：6 km/s
。難度：大概是高中物理

Credit: NASA/Johns Hopkins APL

解答篇

面對任何物理問題，首要之務是釐清

參數定義

。迪莫佛斯初始軌道週期（

T_{0}

）：

11

小時

55

分鐘
。迪莫佛斯被撞擊後的軌道週期（

T_{1}

）：

11

小時

23

分鐘
。撞擊前半長軸（

a_{0}

）
。撞擊後半長軸（

a_{1}

）
。迪迪莫斯質量（

M_{1}

）：

5.27 \times 10^{11}

公斤
。迪莫佛斯質量（

M_{2}

）：

5 \times 10^{9}

公斤
。DART 質量（

m_{D}

）：

600

公斤
。DART 撞擊速度（

v_{D}

）：

6000

公尺/秒
。噴出的碎片質量（

m_{e}

）
。噴出的碎片速度（

v_{e}

）

接著為了簡化問題，我們認定

M_{1} ≫ M_{2}

，並假設迪莫佛斯是以圓形軌道繞行迪迪莫斯。DART 的撞擊平行軌道切線方向，且迪莫佛斯沒有自轉。
有了這些，就可以開始回答問題啦！

軌道速度的改變

由克卜勒第三運動定律，我們知道天體軌道週期的改變，與其軌道半長軸相關：

\frac{a^{3}}{T^{2}} = \frac{G M_{1}}{4 π^{2}}

且軌道速度是：

v = \sqrt{G M_{1} (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})}

由此我們得到兩條方程式：

\frac{a_{0}^{3}}{T_{0}^{2}} = \frac{a_{1}^{3}}{T_{1}^{2}} = \frac{G M_{1}}{4 π^{2}}

Δ v = v (a_{0}) - v (a_{1}) = \sqrt{G M (\frac{2}{a_{0}} - \frac{1}{a_{0}})} - \sqrt{G M (\frac{2}{a_{0}} - \frac{1}{a_{1}})}

因此，只要把第一式的數字代入第二式，就可以計算出

Δ v \sim 2.7 \times 10^{- 3} m s^{- 1}

動量變化

我們可以很簡單的計算出，迪莫佛斯的動量變化是：

Δ p_{2} = M_{2} Δ v \sim 1.35 \times 10^{7} k g m s^{- 1}

而 DART 原本帶有的動量是：

p_{D} = m_{D} v_{D} \sim 3.6 \times 10^{6} k g m s^{- 1}

你會發現，迪莫佛斯的動量變化量，居然比 DART 原本帶的動量更多。這怎麼可能呢？
答案很簡單：因為在撞擊中被拋出的碎片一樣是帶有動量的。

註：嚴格來說，這個結論的前提是我們精準知道迪莫佛斯的質量。但實際上在撞擊之前迪迪莫斯和迪莫佛斯的質量都是高度不確定的。此處為方便展示物理而刻意忽略了這個問題。

最大效果

想要最大化撞擊對迪莫佛斯造成的動量改變，就要在給定一定動能的情況下，最大化碎片的動量。什麼時候碎片的動量會最大呢？答案是所有碎片都正好往

x

方向前進的情況。
Before:

After:

在這個情況下，撞擊前後系統的動量是：

m_{D} v_{D} = M_{2} Δ v - m_{e} v_{e}

總能量是：

E_{k} = \frac{1}{2} m_{D} v_{D}^{2} = \frac{1}{2} M_{2} Δ v^{2} + \frac{1}{2} m_{e} v_{e}^{2}

因此，將兩式結合，我們可以得到（Note:

p = \sqrt{2 m E_{k}}

）

M_{2} Δ v = m_{D} v_{D} + \sqrt{m_{e} (m_{D} v_{D}^{2} - M_{2} Δ v^{2})}

移項平方後可得：

(M_{2} Δ v - m_{D} v_{D})^{2} = m_{e} (m_{D} v_{D}^{2} - M_{2} Δ v^{2})

M_{2}^{2} Δ v^{2} + m_{D}^{2} v_{D}^{2} - 2 M_{2} Δ v m_{D} v_{D} = m_{e} m_{D} v_{D}^{2} - m_{e} M_{2} Δ v^{2}

於是我們發現，上式可以被看成是

Δ v

的一元二次方程式。
因此經過整理並代入公式解之後得到：

Δ v = \frac{2 M_{2} m_{D} v_{D} \pm \sqrt{{(2 M_{2} m_{D} v_{D})}^{2} - 4 (M_{2} m_{e} + M_{2}^{2}) (m_{D}^{2} v_{D}^{2} - m_{e} m_{D} v_{D}^{2})}}{2 (M_{2} m_{e} + M_{2}^{2})}

其中

M_{2}, m_{D}, v_{D}

都是已知，唯一不知道的只有

m_{e}

。因此我們可以借助電腦把它畫出來：

圖中，藍線就是

Δ v

和

m_{e}

的關係。橘色水平線標註著我們從軌道週期的變化計算出的

Δ v

，而淺灰色的鉛直線是 DART 的質量（

m_{D}

）。可以看到，根據

m_{e}

的數值不同，

Δ v

的數值可以差到千倍之多。
需要注意的是，由於我們在列出動量守恆的方程式時，其實就已經偷偷假設了噴出的碎片質量遠小於迪莫佛斯的質量，所以圖片越右邊的計算結果越是不可信。因此我們在圖中特別標出了 0.01 倍迪莫佛斯質量的位置以供參考。

我們會發現，

m_{e}

越大，迪莫佛斯能獲得的動量就越多。為甚麼呢？
我們可以把動量和動能的關係寫下來：

\frac{p^{2}}{2 m} = E_{k}

可以看出在固定動能（由 DART 提供，

m_{D} v_{D}^{2} / 2

）的情況下，噴出的碎片質量越大，其動量就越高。

結語

綜合以上所有訊息，我們發現噴出的碎片質量，對於動能撞擊的效果有非常大的影響。而撞擊中會拋射出多少碎片，又跟撞擊的速度、角度、小行星的結構等因素有關。很可惜的，上述三者，尤其是小行星的內部組成，都有很大的不確定性。而在真實世界中，噴出的碎片不會都朝同一個方向飛出去，而是會像下圖一樣朝各個方向散開。再加上能量耗散、小行星自轉等等其他複雜因素影響，預測撞擊效果的難度可見一斑。

Credits: ASI/NASA/APL

所以，即使是最「簡單」的動能撞擊，到底撞了之後會對小行星的軌道產生多少偏差，仍有相當大的不確定性。正因如此，才需要 DART 這樣的任務去實地驗證並分析這個方法的效果，才能在未來真的需要偏轉小行星的軌道以拯救地球時，制定出成熟可靠的計畫。

延伸閱讀

Statler, T. S., “After DART: Using the first full-scale test of a kinetic impactor to inform a future planetary defense mission”, arXiv e-prints, 2022.
這份論文有提供三維版本的推導。

EASY 天文地科小站

搜尋此網誌